Trabajo 9.- Infinitesimos

Infinitésimos

Definición

f(x) es un infinitésimo en a si lim_x->af(x) = 0 (a puede ser inf)Ejemplo: lim_x->-inf e^x = 0 => e^x es un infinitésimo para -infinito.

Definición

Infinitésimos equivalentesSe dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) son equivalentes si el lim_x->af(x)/g(x) = 1
lim_x->a f(x) = 0, lim_x->ag(x) = 0 f(x) es equivalente a g(x) <=> lim_x->af(x)/g(x) = 1Varios de los límites tipo son límites de cocientes de infinitésimos y valen 1. De ahí podemos establecer las siguientes equivalencias:1.        L(1 + x)
2.    lim -------- = 1   =>   L(1 + x) equiv x
3.    x->0   x                x->0
4.     5.    También: Lx equiv x - 1  (Se deduce haciendo un cambio de
6.             x->1             variable en la equivalencia 1)   

7.  

8.        e^x - 1
9.    lim ------- = 1    =>   e^x - 1 equiv x
10. x->0   x                x->0

11.  

12.      a^x - 1
13. lim  ------ = La   (a perteneciente a R⁺) => a^x - 1 equiv xLa
14. x->0    x                                    x->0      

15.  

16.     sen x
17. lim ----- = 1      =>   sen x equiv x
18. x->0  x                 x->0

19.  

20.     tg x
21. lim ---- = 1       =>   tg x equiv x
22. x->0  x                 x->0

23.  

24.     1 - cos x    1
25. lim ---------- = --     =>   1 - cos x equiv x²/2
26. x->0    x²        2          x->0  

27.  

28.     (1 + x)^m - 1
29. lim ------------- = 1   =>   (1 + x)^m - 1 equiv mx
30. x->0      mx                  x->0

31.  

32.     n  ______                  n  _____          
33.      \|1 + x  - 1   1           \|1 + x  - 1        
34. lim ------------- = --  => lim  ------------ = 1
35. x->0      x         n      x->0    x/n           
36.   n  _____
37. => \|1 + x - 1 equiv x/n                        

38.  

Comparación de infinitésimosSean f(x) y g(x) dos infinitésimos en a.

1. Se dice que f(x) y g(x) tienen el mismo orden si lim_x->af(x)/g(x) = k ≠ 0

1. Se dice que el orden de f(x) es mayor que el orden de g(x) si lim_x->af(x)/g(x) = 0

1. Se dice que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x) si lim_x->af(x)/g(x) = inf

1. Cuando no existe lim_x->af(x)/g(x) se dice que los infinitésimos no son comparables.

TeoremaDos infinitésimos son equivalentes <=> el orden de la diferencia es mayor que el orden de ambos.
H) f(x)_x->a--> 0, g(x)_x->a--> 0, f(x) equiv g(x) cuando x->a T) orden(f(x) - g(x)) > orden f(x)     orden(f(x) - g(x)) > orden g(x)Demostración:

Directo:                       1      1 pues f(x) equiv g(x)                     --^--  --^--    x->a    f(x) - g(x)       f(x)  g(x)lim ---------- = lim  --- - --- = 0x->a    f(x)     x->a f(x)  f(x)=> (por órdenes de infinitésimos) orden (f(x)-g(x)) > orden (f(x))Análogamente se prueba que orden (f(x)-g(x)) > orden (g(x)).Recíprocoorden(f(x) - g(x)) > orden (f(x)) => (por órdenes de infinitésimos)    f(x) - g(x)lim ---------- = 0x->a   f(x)  
      1                   (por def. infinitésimos equivalentes)
    --^--                          |     f(x)  g(x)           g(x)     |
lim  --- - --- = 0 => lim ---- = 1 => f(x) equiv g(x)
x->a f(x)  f(x)       x->a f(x)       x->a

TeoremaLa suma de dos infinitésimos de distinto orden es equivalente al infinitésimo de menor orden. H) f(x)_x->a--> 0, g(x)_x->a--> 0, orden(f(x)) < orden(g(x)) T) f(x) + g(x) equivalente a f(x) cuando x->a.Demostración:                       1      0 pues orden (f(x)) < orden (g(x))                     --^--  --^--  
    f(x) + g(x)       f(x)  g(x)lim ---------- = lim  --- + --- = 1x->a    f(x)     x->a f(x)  f(x)Generalización:La suma de n infinitésimos es equivalente al infinitésimo de menor orden.Ejemplo: 7x⁵ + 4x³ + 2x² equiv 2x² cuando x->0

TeoremaSustitución de infinitésimos equivalentesH) lim_x->a α(x).f(x) = b (finito o infinito)     α(x)_x->a--> 0     Existe β(x), β(x)_x->a--> 0 / β(x)_x->a equiv α(x) T) lim_x-a β(x).f(x) = bDemostración:                                    pues lim α(x)/β(x) = 1                                     |   x->a                     α(x).β(x).f(x)  |       
lim α(x).f(x) = lim ---------------  = lim β(x).f(x) = bx->a            x->a      β(x)         x->a

TeoremaSustitución de infinitésimos equivalentesH) lim_x->a f(x)/α(x) = b (finito o infinito)     α(x)_x->a--> 0     Existe β(x), β(x)_x->a--> 0 / β(x)_x->a equiv α(x) T) lim_x-a f(x)/β(x) = bDemostración:                        pues lim β(x)/α(x) = 1                          |  x->a    f(x)       β(x).f(x)  |     f(x)      
lim ---- = lim ---------  = lim ---- = bx->a α(x) x->a β(x).α(x)    x->a β(x)

Trabajo 8.- Funciones Pares e Impares.

Funciones Pares e Impares

Funciones Pares

Una función par es cualquier función que satisface la relación  y si x es del dominio de f entonces -x también.

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Condición de la función par f(-x) = f(x)

Funciones Impares

Una función impar es cualquier función que satisface la relación:

para todo x en el dominio de f.

Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

Trabajo 7.- Funciones Monótonas.

Función Monótona (Hisótona).

Una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o Hisótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en cálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótona-mente crecientes y monótonamente decrecientes (simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

La función f es monótona si y sólo si x ≤ y implica f(x) ≤ f(y) (es decir, la función es creciente), o bien x ≤ y implica f(x) ≥ f(y) (es decir, la función es decreciente). En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden.

1) una funcion  f  es creciente en un intervalo si para cualquier par de números X_{1  ,} x₂ del intervalo, X₁ < x₂  implica f(X₁ ) < f(x₂ ).

2) Una funcion f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números X_{1  ,} x₂ del intervalo X₁ < x₂ implica  f(X₁ ) > f(x₂ ).

Funciones no Monótonas (forman figuras cóncavas)

Trabajo 6.- Funciones Crecientes y Decrecientes.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES 

FUNCIÓN CRECIENTE

Es cuando a un incremento de x le corresponde un incremento positivo de y; a un incremento negativo de x le corresponde un incremento negativo de y. O sea a medida de que el valor de x aumenta, aumenta el de y; de donde, el y el tendrán el mismo signo.

Se dice que la función y=f(x) es creciente en un intervalo si es creciente todos los valores del intervalo.

FUNCIÓN DECRECIENTE

Es cuando a un incremento positivo de x le corresponde un incremento negativo de y; a un incremento negativo de x le corresponde un incremento positivo de y.  O sea el valor de y disminuye cuando x aumenta; de donde, el y el  tendrán signos opuestos.

Se dice que la función y=f(x) es decreciente en un intervalo si es decreciente para todos los valores del intervalo.

Trabajo 5.- Funciones Inversas.

Funciones inversas

Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a

· Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

^_ Despejar la variable independiente x.

^_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.^er cuadrante y del 3.^er cuadrante.

Ejercicio:

 Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.

Resolución:

· Se intercambian ambas variables:

_Ejemplos:

1)  f(x) = (x + 2)³

y = (x + 2)³

³√y = x + 2

x = (³√y ) - 2

y = (³√x ) - 2

2)   f(x) = 3x² - 6

y = 3x² - 6

y + 6 = x²

³          

^{x =} √y + 6

      3

y = √x + 6

       3

Trabajo 4.- Funciones trascendentes.

Funciones Trascendentes

la variable independiente figura como exponente o como indice de la raiz o se halla afectada del signo logaritmico o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometria.

Función Exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llamafunción exponencial de base a y exponente x.

Funciones Logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Trabajo 3.- Función inyectiva, suprayectiva, biyectiva y sobreyectiva.

TIPOS DE FUNCIONES

a) INYECTIVA:

En álgebra abstracta, una función  f : X --> Y es inyectiva si a elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto Y  (imagen) de f. Es decir, cada elemento del conjunto Y  tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales  R --> R, dada f por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2)   y  f(-2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función g: R --> R, entonces sí se obtiene una función inyectiva.                                                                                                                       

b) SUPRAYECTIVA:

Definición: si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva.                                                                            

                              

c)  BIYECTIVA:

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

d) SOBREYECTIVA:

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo no negativo es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales N a N no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de N va al 3 por esta función: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales N al de los números pares.