Trabajo 9.- Infinitesimos
Infinitésimos
Definición
f(x) es un infinitésimo en a si limx->af(x)
= 0 (a puede ser inf)Ejemplo: limx->-inf ex =
0 => ex es un infinitésimo para -infinito.
Definición
Infinitésimos equivalentesSe dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) son
equivalentes si el limx->af(x)/g(x) = 1
limx->a f(x) = 0, limx->ag(x) = 0
f(x) es equivalente a g(x) <=> limx->af(x)/g(x) = 1Varios de los límites tipo son
límites de cocientes de infinitésimos y valen 1. De ahí podemos establecer las
siguientes equivalencias:1.
L(1 + x)
2.
lim
-------- = 1 => L(1 + x) equiv x
3.
x->0 x x->0
4.
5.
También:
Lx equiv x - 1 (Se deduce haciendo un
cambio de
6.
x->1 variable en la equivalencia
1)
-
8.
ex - 1
9.
lim
------- = 1 => ex - 1 equiv x
10.
x->0 x x->0
-
12.
ax - 1
13.
lim ------ = La
(a perteneciente a R+) => ax - 1 equiv
xLa
14.
x->0 x
x->0
-
16.
sen x
17.
lim -----
= 1 => sen x equiv x
18.
x->0 x x->0
-
20.
tg x
21.
lim ----
= 1 => tg x equiv x
22.
x->0 x x->0
-
24.
1 - cos x
1
25.
lim
---------- = -- => 1 - cos x equiv x2/2
26.
x->0 x2 2 x->0
-
28.
(1 + x)m - 1
29.
lim
------------- = 1 => (1 + x)m - 1 equiv mx
30.
x->0 mx
x->0
-
32.
n
______ n _____
33.
\|1 + x
- 1 1 \|1 + x - 1
34.
lim
------------- = -- => lim ------------ = 1
35.
x->0 x
n x->0 x/n
36.
n
_____
37.
=> \|1
+ x - 1 equiv x/n
-
Comparación
de infinitésimosSean f(x)
y g(x) dos infinitésimos en a.
- Se dice que f(x) y g(x)
tienen el mismo orden si limx->af(x)/g(x) = k ≠ 0
- Se dice que el orden de f(x)
es mayor que el orden de g(x) si limx->af(x)/g(x) = 0
- Se dice que el orden de f(x)
es menor que el orden de g(x) si limx->af(x)/g(x) = inf
- Cuando no existe limx->af(x)/g(x)
se dice que los infinitésimos no son comparables.
TeoremaDos infinitésimos son equivalentes <=> el
orden de la diferencia es mayor que el orden de ambos.
H) f(x)x->a--> 0, g(x)x->a--> 0, f(x)
equiv g(x) cuando x->a
T) orden(f(x) - g(x)) > orden f(x)
orden(f(x) - g(x)) > orden g(x)Demostración:
Directo: 1 1 pues f(x) equiv g(x) --^-- --^--
x->a f(x) - g(x) f(x)
g(x)lim
---------- = lim --- - --- = 0x->a f(x)
x->a f(x) f(x)=> (por órdenes de
infinitésimos) orden (f(x)-g(x)) > orden (f(x))Análogamente se prueba que orden (f(x)-g(x)) >
orden (g(x)).Recíprocoorden(f(x) - g(x)) > orden (f(x)) => (por órdenes de
infinitésimos) f(x) - g(x)lim
---------- = 0x->a f(x)
1 (por def.
infinitésimos equivalentes)
--^-- | f(x)
g(x) g(x) |
lim --- - --- = 0 => lim ---- = 1 => f(x)
equiv g(x)
x->a
f(x) f(x) x->a f(x) x->a
TeoremaLa suma de dos infinitésimos de distinto orden es
equivalente al infinitésimo de menor orden.
H) f(x)x->a--> 0, g(x)x->a--> 0,
orden(f(x)) < orden(g(x))
T) f(x) + g(x) equivalente a f(x) cuando x->a.Demostración: 1 0 pues orden (f(x)) < orden (g(x)) --^-- --^--
f(x) + g(x) f(x)
g(x)lim
---------- = lim --- + --- = 1x->a f(x)
x->a f(x) f(x)Generalización:La suma de n infinitésimos es equivalente al
infinitésimo de menor orden.Ejemplo: 7x5 + 4x3 + 2x2 equiv
2x2 cuando x->0
TeoremaSustitución de infinitésimos
equivalentesH) limx->a α(x).f(x) = b
(finito o infinito)
α(x)x->a--> 0
Existe β(x), β(x)x->a--> 0 / β(x)x->a equiv
α(x)
T) limx-a β(x).f(x) = bDemostración: pues lim
α(x)/β(x) = 1 | x->a α(x).β(x).f(x) |
lim
α(x).f(x) = lim --------------- = lim
β(x).f(x) = bx->a x->a β(x) x->a
TeoremaSustitución de infinitésimos
equivalentesH) limx->a f(x)/α(x) = b
(finito o infinito)
α(x)x->a--> 0
Existe β(x), β(x)x->a--> 0 / β(x)x->a equiv
α(x)
T) limx-a f(x)/β(x) = bDemostración: pues lim β(x)/α(x) = 1 | x->a f(x)
β(x).f(x) | f(x)
lim ----
= lim --------- = lim ---- = bx->a
α(x) x->a β(x).α(x) x->a β(x)
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